CSP初赛知识精讲--容斥原理

第十三节容斥原理

基础知识

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥除去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
基本计算公式
$A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$
$A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C |-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$
( $A 、 B 、 C$ 为集合， $∣ A ∣$ 表示 $A$ 集合内成员数量， $\cup$ 运算为并集， $\cap$ 为交集)

范例精讲

例1 某班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
解析：设参加足球队的人数为A，参加排球队的人数为B，参加游泳队的人数为C，三项都参加的人数设为X。带入计算公式： $25 + 22 + 24 - 12 - 99 - 8 + X = 45$ ，解得 $X = 3$ 。

例2 分母是1001的最简分数一共有多少个？
解析：此题实际是找分子中不能与1001进行约分的数。由于先对1001质因子分解，可知 $1001 = 7 \times 11 \times 13$ ，所以就是找不能被 $7 、 11 、 13$ 整除的数。
在 $1$ ~ $1001$ 中，是 $7$ 的倍数的有 $1001/7 = 143$ 个；是 $11$ 的倍数的有 $1001/11 = 91$ 个；是 $13$ 的倍数的有 $1001/13 = 77$ 个；是 $7 \times 11$ 的倍数的有 $1001/77 = 13$ 个；
是 $7 \times 13$ 的倍数的有 $1001/91 = 11$ 个；是 $11 \times 13$ 的倍数的有 $1001/143 = 7$ 个；是 $7 \times 11 \times 13$ 的倍数的有 $1001/1001 = 1$ 个。
代入容斥原理基本计算公式：能被7或11或13整除的数有 $(143 + 91 + 77) - (13 + 11 + 7) + 1 = 281$ 个，所以不能被 $7 、 11 、 13$ 整除的数有 $1001 - 281 = 720$ 个。